Движение электронов в скрещенных статических электрическом и магнитном полях

Рассмотрим движение электрона в пространстве, где есть электро­статическое поле с напряженностью Е0 и магнитное поле с индук­цией В, направленной от читателя перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 6.1). При выбранном положении системы координат компоненты поля Еу=—Е0, Ех=Еz=0, Вх=—В0, Ву=Вx=0.

В произвольной точке С траектории АВ на электрон, имеющий скорость , действуют две силы — электрическая (сила Кулона) и магнитная (сила Лоренца) причем

; . (5.1)

Движение происходит в плоскости уz (х=0; =0), так как нет компонентов сил, совпадающих с направлением оси х. Следо­вательно, уравнения движения электронов можно записать

; . (5.2)

Систему уравнений движения (5.2) обычно приводят к виду

; . (5.3)

где

. (5.4)

— циклотронная частота — угловая частота кругового движения электрона в однородном магнитном, поле.

Допустим, что в исходный момент времени электрон на­ходится в начале координат 0 (х=у=z=0) и имеет начальную скорость v0, направленную по оси z. Тогда начальные условия для решения (5.3) будут:

x = 0 ; у = z = 0 ; ;

Решая (5.3) с учетом начальных условий, получим:

(5.5)

(5.6)

где

(5.7)

Вместо (5.5), (5.6) можно записать

(5.8)

Уравнение (5.8) представляет собой окружность с координа­тами центра а и R и радиусом R. Однако из (5.7) следует, что координата а центра окружности пропорциональна времени, т. е. центр равномерно смещается по оси z со скоростью Е0/В. Эта ве­личина получила названия переносной скорости:

(5.9)

Уравнения (5.5), (5.6) и (5.8) показывают, что движение элек­трона в скрещенных полях можно представить как сложение дви­жений поступательного со скоростью vп и вращательного по окружности с радиусом R с постоянной угловой скоростью, равной циклотронной частоте ωц. С учетом (5.9) формулы (5.7) прини­мают вид

(5.10)

На рис. 5.2а показаны траектории электронов для наиболее важных случаев v0=0, v0=vП.

Рис. 5.1

Если vо = vП, то формально из (5.7) R = 0 и, следовательно, в (5.6) у=0, а в (5.5) z=at. В этом случае траекто­рия — прямая линия, совпада­ющая с осью z. Электрон, на­чавший движение со скоро­стью, равной переносной ско­рости, продолжает двигаться по инерции. Этот результат очевиден, так как в (5.1) при v=vп=Е0/В электрическая и магнитная силы равны, но про­тивоположны по направлению и компенсируют друг друга.



При начальной скорости v0=0 радиус окружности с учетом

(5.11)

В начале координат, где скорость электрона равна нулю, на элек­трон действует лишь электрическая сила Рэл. Эта сила увеличи­вает скорость электрона, а следовательно, и магнитную силу строящуюся отклонить электрон от вертикального направления движения вправо. В процессе движения скорость и ее направление непрерывно изменяются, а следовательно, изменяется по величине и направлению магнитная сила, электрическая остается постоян­ной. Траектория электрона принимает вид циклоиды 1 (рис. 5.2а).

Рис.5.2 Рис.5.3

Максимальное смещение по (5.6) наступит при и составит . В верхней точке циклоиды отсутствует вертикальная составляющая скорости , т. е. скорость направлена по горизонтали и определяется из (5.5):

(5.12)

В этой точке магнитная сила в 2 раза больше электрической и противоположна ей по направлению. Далее траектория электрона продолжает искривляться, электрон начинает движение вниз и электрическое лоле теперь для него оказывается тормозящим. Это приведет к уменьшению скорости, а соответственно и магнитной силы. Скорость и магнитная сила вернутся к нулевому значению, когда электрон

достигнет оси z (у=0) с потенциалом исходной точки движения. После этого цикл движения повторится.

Таким образом, на восходящей части циклоиды кинетическая энергия электрона растет, а на спадающей уменьшается до исход­ного нулевого значения. Соответственно потенциальная энергия электрона в электростатическом поле наибольшая в начале и кон­це цикла и наименьшая в верхней точке циклоиды. Изменение ки­нетической энергии ло закону сохранения энергии равно изменению потенциальной энергии, а в среднем за цикл движения обме­на энергии не происходит.



Обычно для наглядности представления траекторий электронов в скрещенных полях пользуются механической моделью (см. рис. 5.26). По горизонтальной направляющей катится без скольжения диак, радиус которого R0 определяется (5.11). Центр Q диска со­вершает прямолинейное движение, которое аналогично траекто­рии 2 (см. рис. 5.2а) для случая, когда начальная скорость равна переносной vo = vп. Точка N прочертит кривую, соответствующую циклоиде 1 (см. рис. 5.2а) для случая начальной скорости vо=0.

В приборах типа М нашли широкое прмменение цилиндриче­ские электроды. Движение электронов в этом случае удобнее рас­сматривать в цилиндрической системе координат. Траекторию электронов по аналогии с системой плоских электродов можно представить как движение точки диска, катящегося по цилиндри­ческой направляющей со скоростью vц=Е0/В, где Е0 — напря­женность иоля в зазоре между цилиндрическими электродами (рис. 5.3). Погрешность, вносимая при таком рассмотрении, зави­сит от соотношения радиусов электродов. Если радиусы отличаются мало, т. е. зазор между электродами много меньше радиусов, то цилиндрические электроды можно рассматривать как плоские.

Траектория 2 центра диска Q оказывается окружностью, а точки N на ободе — приблизительно циклоидой.


3625358179861808.html
3625423922330120.html
    PR.RU™